Recursividade e Arte

Um dos problemas recorrentes que é estudado em Matemática e em Ciência da Computação, é a recursividade. Para quem eventualmente não conheça do assunto, recursividade é o estudo que se faz quando um processo é definido em função de si mesmo, a fim de alcançar um objetivo qualquer.

Processos recursivos mostram uma profunda elegância em sua concepção, aliando a simplicidade da repetição à eficiência do procedimento. O interesse de pesquisadores nesses processos se dá precisamente porque mostram soluções simples e elegantes para problemas que, a princípio, parecem complexos. Em computação, quando definimos algum algoritmo recursivo, o processo precisa encontrar um fim, ou então não haverá solução para o problema. Trata-se, portanto, de uma verdadeira "viagem" em que o processo invoca a si mesmo, formando um longo caminho pavimentado pelos processos em execução, até que algum ponto lógico seja alcançado e então executa-se a "viagem de volta", com os processos chamados encerrando e devolvendo a execução para o processo anterior, recuando-se na "estrada pavimentada" até o ponto de partida.

Um exemplo clássico de problema resolvido recursivamente é a Torre de Hanoi (http://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi). Você pode brincar um pouco para entender mais sobre o problema clicando em http://papajogos.uol.com.br/raciocinio/The_Towers_of_Hanoi_712.html, e pode ver a descrição da solução recusriva em http://www.cut-the-knot.org/recurrence/hanoi.shtml, com uma implementação ilustrada em http://www.dynamicdrive.com/dynamicindex12/towerhanoi.htm. É muito divertido!

Há um livro, "Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid" em que Douglas Richard Hofstadter discorre sobre uma questão interessante a respeito da Recursividade: ela transcende o árido mundo da ciência.

Com efeito, Hofstadter mostra que as obras de Bach possuem uma enorme recorrência de harmonias, acordes e notas, executando sequências de "subidas" e "descidas" ao longo da execução. Escutem "Jesus, Alegria dos Homens" e vejam como as notas "sobem" e "descem" na escala, na execução de Baden Powell.



Além disso, o trabalho de Escher é uma sucessão de recursividades que desafiam o próprio intelecto humano. Por exemplo, vejam essas quedas d'água que se retroalimentam.



Ou então olhem as mãos que estão desenhando uma a outra.



Finalmente pensem nesse auto-retrato; observem que ele desenha a si mesmo enquanto desenha a si mesmo, indefinidamente. Isso é infinito!



É um deleite para o pensamento, principalmente quando Göedel nos dá, de brinde, um dos maiores entraves do Pensamento Científico. Ele mostra que os sistemas formais de pensamento, tais como, lógica, matemática, física, geometria, etc. sujeitam-se ao Teorema da Incompletude. Que diz o seguinte: ou os sistemas são completos, ou os sistemas são consistentes.

Por exemplo, a Geometria é um sistema consistente, mas é incompleto pois precisa dos axiomas de Euclides como ponto de partida, para que todo o sistema seja erigido, e os axiomas não são demonstrados dentro da própria Geometria. Por outro lado, a Lógica Clássica é um sistema completo, mas inconsistente; vejam as proposições abaixo para entender melhor.

i) A proposição (ii) é verdadeira
ii) A proposição (i) é falsa

Note que o resultado lógico das proposições (i) e (ii) é indeterminável, porque as proposições invocam-se alternada, sequencial e indefinidadende. Isso demonstra a inconsistência da Lógica Clássica.

O dilema, então, segundo Göedel, é que o sistema precisa de um "auxílio externo", ou seja, algum tipo de intervenção que venha de fora, como acontece com os axiomas da geometria. Caso contrário ele corre o risco de entrar numa recursão infinita.

Apesar de apresentar às ciências e à própria filosofia um problema incômodo, não há como não perceber que há uma beleza fruto de profunda elegância no pensamento de Göedel. E essa elegância transcende para as Artes de Bach e Escher: beleza pura, simples e intelectualmente.

Recursividade.